Exercice 1

question 1

Liste de tous les chemins entre X et Y :

  • X -> Y : chemin ouvert

  • X <- U -> Z2 <- Z3 -> Y : chemin fermé

  • X <- U <- Z1 -> Z3 -> Y : chemin ouvert

Les chemins ouverts entre X et Y sont donc :

X -> Y et X <- U <- Z1 -> Z3 -> Y

paths(d, from = "X", to = "Y")
## $paths
## [1] "X -> Y"                  "X <- U -> Z2 <- Z3 -> Y"
## [3] "X <- U <- Z1 -> Z3 -> Y"
## 
## $open
## [1]  TRUE FALSE  TRUE

question 2

Il faut bloquer X <- U <- Z1 -> Z3 -> Y

En bloquant ce chemin, toutes les confusions ont été supprimées car il n’y a pas de chemin backdoor ouverts entre X et Y.

question 3

Non, car on a X -> Y qui est un chemin frontdoor et donc un chemin causal, mais ce n’est pas le seul, on voudrait donc le rendre unique (frontdoor et ouvert).

Il faut conditionner sur Z3 ou Z1 pour bloqué le chemin frontdoor Z1 -> Z3 -> Y.

latents(d) = "U"
adjustmentSets(d, exposure = "X", outcome = "Y")
## { Z3 }
## { Z1 }

question 4

On bloque les chemins Backddor :

X <- U -> Z2 <- Z3 -> Y est un chemin Backdoor fermé, donc on conditionnant sur U ou Z3 le chemin reste fermé à cause de Z2.

X <- U <- Z1 -> Z3 -> Y est un chemin Backdoor ouvert, donc on conditionnant sur U ou Z3 ou Z1 le chemin sera fermé.

Ainsi les ensembles d’ajustement sont {Z3}, {Z1}, {U}.

# Vérification
d <- dagitty(
  'dag{
    X [pos = "0, 0"]
    U [pos = "0, -1"]
    Z1 [pos = "1, -1.5"]
    Z2 [pos = "1, -0.5"]
    Z3 [pos = "2, -1"]
    Y [pos = "2, 0"]
    Z1 -> U -> Z2
    Z1 -> U -> X -> Y
    Z1 -> Z3 -> Z2
    Z1 -> Z3 -> Y
    X -> Y
  }'
)

adjustmentSets(d, exposure = "X", outcome = "Y")
## { Z3 }
## { Z1 }
## { U }

Exercice 2

question 1

set.seed(42)

n <- 1000

# Epsilon
epsU <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsX <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsR <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsV <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsZ <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsW <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))
epsY <- rnorm(n, 0, sqrt(0.5))

U <- 1 + epsU
X <- U + epsX

R <- 2 + epsR
V <- U + R + epsV

Z <- X + epsZ
W <- Z + 2*X + epsW
Y <- 2*V + W + R + epsY

question 2

Oui, X a un effet causal sur Y, car les chemins de X vers Y sont causals (chemins front-door ouvert)

question 3

En introduisant l’opérateur do(X=x), le schéma devient :

L’expression de la loi de probabilité jointe est donc :

\[ \mathbb{F}(U=u, R=r, V=v, Z=z, W=w, Y=y|\ do(X=x))=\\F(R=r). F(U=u).F(V=v | R=r, U=u)\\.F(W=w | X=x, Z=z).F(Z=z|X=x).F(Y=y|R=r, V=v, W=w) \]

question 4

\[ \mathbb{F}(Y=y|\ do(X=x))= \int_{u}\int_{v}\int_{r}\int_{w}\int_{z} F(R=r). F(V=v).F(V=v | R=r, U=u)\\.F(W=w | X=x, Z=z).F(Z=z|X=x).F(Y=y|R=r, V=v, W=w)\ \mathrm{d}u \ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}r\ \mathrm{d}w \ \mathrm{d}z \]

question 5

do.x_0 = rep(0, 1000)
do.x_1 = rep(1, 1000)

Z0 = do.x_0 + epsZ
W0 = Z0 + 2*do.x_0 + epsW
Y_do_0 = 2*V + W0 + R + epsY


Z1 = do.x_1 + epsZ
W1 = Z1 + 2*do.x_1 + epsW
Y_do_1 = 2*V + W1 + R + epsY

question 6

mean(Y_do_1 - Y_do_0)
## [1] 3

question 7

adjustmentSets(d, exposure = "X", outcome = "Y")
## { R, V }
## { U }

On bloque les chemins Backddor :

X <- U -> V <- R -> Y est un chemin Backdoor fermé, donc on conditionnant sur V on l’ouvre et en reconditionnant sur R on le ferme. On pouvait aussi conditionner que sur U et le chemin restera fermé. Ainsi l’ensemble d’ajustement est {R, V} et {U}.

Pareil pour X <- U -> V -> Y

question 8

Lorsque {U} est l’ensemble d’ajustement :

\[ \mathbb{F}(Y=y|\ do(X=x))=\int_{u} F(U=u).F(Y=y|R=r, V=v, W=w)\ \mathrm{d}u \]

Lorsque {V, R} est l’ensemble d’ajustement :

\[ \mathbb{F}(Y=y|\ do(X=x))=\int_{v}\int_{r}\ F(R=r, V=v).F(Y=y|R=r, V=v, X=x)\ \mathrm{d}v \ \mathrm{d}r\ \]

question 9

lm(Y~X)
## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            X  
##       6.917        4.031
mean(Y_do_1 - Y_do_0)
## [1] 3

En faisant un régression de Y en fonction de X seulement on trouve que le coefficient de X est proche de 4 qui est différent de 3 (l’effet causale moyen trouvé à la question 6), ce qui n’est pas la vrai valeur de l’effet causale (effet causale biaisée).

lm(Y~X+U)
## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X + U)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            X            U  
##       6.000        3.070        1.891
lm(Y~X+V+R)
## 
## Call:
## lm(formula = Y ~ X + V + R)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)            X            V            R  
##     -0.1488       2.9922       2.0202       1.0483

On trouve que les valeur des coefficients de X sont proche de 3 (l’effet causale moyen de la question 6), donc cela implique que {V, R} et {U} sont bien des ensembles d’ajustements qui va permettre d’identifier l’effet causale de X -> Y.

Exercice 3

1- La relation d’indépendance (1) suit du fait que les chemins du type Z -> A -> W et Z -> Y -> W sont bloqués par A. Donc Z et indépendant de W en conditionnant par A.

2- Y est indépendant de A en conditionnant sur (W, Z) ou encore en conditionnant sur (W, Z) on bloque les chemins suivant :

  • A -> W -> Y

  • A <- Z -> Y

3- l’égalité (3) s’obtient du fait que :

\[ \text{loi jointe : } \ \ P(Y, A, Z, W) = P(Z).P(A|Z).P(W|A).P(Y|W,Z) \\ \text{application de l'opérateur do() : } \mathbb{P}(Y, Z, W|do(A=a)) = P(Z).P(W|A=a).P(Y|W,Z) \\ \text{En passant par les probas totales : } \mathbb{P}(Y|do(A=a)) = \sum_{z,w} P(Z).P(W|A=a).P(Y|W,Z) \]

4- l’égalité (4) s’obtient du fait que :

\[ \sum_{z} P(Z=z).P(W=w|A=a).P(Y=y|W=w,Z=z) \\ \text{En appliquant les probas totales on obtient : } \ \ \sum_{z, a'} P(z, a').P(y|z,w) \]

5- l’égalité (5) s’obtient du fait que : en appliquant les probas conditionnelles on a,

\[ \sum_{z, a'} P(a').P(z|a').P(y|z, w) \] 6- l’égalité (6) s’obtient du fait que : en appliquant l’ignorabilité conditionnelles on a,

\[ \sum_{z, a'} P(a').P(z|a', w).P(y|a', z, w) \]

7- l’égalité (7) s’obtient du fait que : en appliquant l’inverse des probas conditionnelles on a,

\[ \sum_{z, a'} P(a').P(z, y|a', w) \] 8 - l’égalité (8) s’obtient du fait que : en appliquant l’inverse des probas conditionnelles on a,

\[ \sum_{a'} P(a').P(y|a', w) = \sum_{a'} P(y,a'|w) \]